Gröbner basis algorithms in service of algebraic set decomposition
Algorithmes de base de Gröbner au service de la décomposition des ensembles algébriques
Résumé
Algebraic sets, i.e. solution sets of polynomial systems of equations,model a wide variety of nonlinear problems, both in applied and pure mathematics. One of the most foundational results in algebraic geometry sais that every algebraic set has a unique decomposition into irreducible algebraic sets and a frequent task is to decompose such an algebraic set into its irreducible components, or to produce some kind of coarser decomposition of the algebraic set in question. This task comes up for example in certain problems in robotics on the applied side and enumerative geometry on the pure side. In this thesis, we present a series of algorithms solving such decomposition problems for algebraic sets. All of these algorithms use Gröbner bases for polynomial ideals at their core. Gröbner bases are an ubiquitous tool in symbolic computation. They form the core of many higher level algorithms and are implemented in all prominent computer algebra systems. Three of these algorithms produce so-called equidimensional decompositions of an algebraic set, i.e. they partition a given algebraic set dimension-by-dimension. They are designed to avoid potentially costly elimination operations and, partially, use features of so-called signature-based Gröbner basis algorithms. Our software implementations of these algorithms showcase their practical efficiency compared to state-of-the-art computer algebra systems on examples of interest. Another set of algorithms (respectively based on the F4 algorithm and the FGLM use Hensel lifting methods in a novel way to compute Gröbner bases for generic fibers of polynomial ideals. We outline how these algorithms can be used as a core piece in known algorithms for equidimensional or irreducible decomposition of an algebraic set and exhibit their quasi-linear complexity in the precision up to which certain power series are computed. Finally, we give an extension of generic fiber techniques for equidimensional decomposition of algebraic sets to compute Whitney stratifications of singular algebraic sets, improving on the state of the art. A Whitney stratification partitions a singular algebraic set into smooth pieces in a desirable way and has applications, for example, in physics. We, in addition, give an algorithm to minimize a given Whitney stratification.
Les ensembles algébriques, c'est-à-dire les ensembles de solutions de systèmes d'équations polynomiales, modélisent une grande variété de problèmes non linéaires, tant en mathématiques appliquées qu'en mathématiques pures. L'un des résultats les plus fondamentaux de la géométrie algébrique est que chaque ensemble algébrique possède une décomposition unique en ensembles algébriques irréductibles. Une tâche fréquente consiste à décomposer un tel ensemble algébrique en ses composantes irréductibles, ou à produire une sorte de décomposition plus grossière de l'ensemble algébrique en question. Cette tâche apparaît par exemple dans certains problèmes de robotique du côté appliqué et de géométrie énumérative du côté pur. Dans cette thèse, nous présentons une série d'algorithmes résolvant de tels problèmes de décomposition pour des ensembles algébriques. Tous ces algorithmes utilisent les bases de Gröbner pour les idéaux polynomiaux. Les bases de Gröbner sont un outil omniprésent dans le calcul symbolique. Elles constituent le cœur de nombreux algorithmes de niveau supérieur et sont mises en œuvre dans tous les principaux systèmes de calcul formel. Trois de ces algorithmes produisent des décompositions dites équidimensionnelles d'un ensemble algébrique, c'est-à-dire qu'ils partitionnent un ensemble algébrique donné dimension par dimension. Ils sont conçus pour éviter les opérations d'élimination potentiellement coûteuses et utilisent en partie les caractéristiques des algorithmes de base de Gröbner basés sur la signature. Nos implémentations logicielles de ces algorithmes démontrent leur efficacité pratique par rapport aux systèmes de calcul formel les plus modernes sur des exemples intéressants. Un autre ensemble d'algorithmes (respectivement basés sur l'algorithme F4 et le FGLM) utilise les méthodes de levage de Hensel d'une manière nouvelle pour calculer les bases de Gröbner pour des fibres génériques d'idéaux polynomiaux. Nous expliquons comment ces algorithmes peuvent être utilisés comme pièce maîtresse dans les algorithmes connus pour la décomposition équidimensionnelle ou irréductible d'un ensemble algébrique et nous montrons leur complexité quasi-linéaire dans la précision jusqu'à laquelle certaines séries de puissance sont calculées. Enfin, nous donnons une extension des techniques génériques de fibres pour la décomposition équidimensionnelle des ensembles algébriques afin de calculer les stratifications de Whitney des ensembles algébriques singuliers, améliorant ainsi l'état de l'art. Une stratification de Whitney partitionne un ensemble algébrique singulier en morceaux lisses d'une manière souhaitable et a des applications, par exemple, en physique. Nous donnons en outre un algorithme pour minimiser une stratification de Whitney donnée.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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